Question

（2008•寧波模擬）在等比數列{a_n}中，a₂+a₅=18，a₃•a₄=32，且a_n+1＜a_n（n∈N*）
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若T_n=lga₁+lga₂+…+lga_n，求T_n的最大值及此時n的值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得

a2+a5=18 a2a5=32

，解得

a2=16 a5=2

，求出公比q的值，從而得到a_n=a₂q^n-2 的解析式．
（2）利用對數的運算性質化簡 T_n為

1

2

(-n2+11n)lg2，故當n=5或n=6時，T_n最大，運算求得最大值．

解答：解：（1）由于{a_n}為等比數列，且a_n+1＜a_n ，
∴a₂a₅=a₃a₄=32，∴

a2+a5=18 a2a5=32

，∴

a2=16 a5=2

．
則q3=

a 5

a 2

=

1

8

，q=

1

2

，則a_n=a₂q^n-2=2^6-n．…（7分）
（2）T_n=lga₁+lga₂+…+lga_n=lg（a₁a₂…a_n）=lg25+4+…+(6-n)=

11-n

2

•nlg2=

1

2

(-n2+11n)lg2，
二次函數y=-n²+11n 的對稱軸為 n=5.5，又n∈z，
故當n=5或n=6時，T_n最大，最大值為T₅=T₆ =15 lg2．…（14分）

點評：本題主要考查等比數列的定義和性質，對數的運算性質，等差數列的前n項和公式及其應用，屬于基礎題．