Question

如果函數f（x）=ax²+2x-3
（1）當a=1時，求f（x）在[-2，2]之間的取值范圍．
（2）若f（x）在區間（-∞，4）上單調遞增，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）當a=1時，判斷函數的對稱軸，然后求f（x）在[-2，2]之間的取值范圍．
（2）若f（x）在區間（-∞，4）上單調遞增，分類討論函數是一次函數還是二次函數，二次函數的對稱軸與區間端點的關系，從而求實數a的取值范圍．

解答： 解：（1）當a=1時，f（x）=x²+2x-3，
函數的對稱軸為x=-1，
∴f（-1）=-4，f（2）=5．
函數在[-2，2]之間的取值范圍：[-4，5]．
（2）當a=0時，函數是f（x）=2x-3，f（x）在區間（-∞，4）上單調遞增，恒成立；
當a≠0時，函數是二次函數，f（x）在區間（-∞，4）上單調遞增，
∴a＜0，
函數的對稱軸x=-

1

a

，
則-

1

a

≥4解得-

1

4

≤a＜0，
∴實數a的取值范圍[-

1

4

，0]．

點評：本題主要考查了函數單調性的應用及分類討論的思想，解題的關鍵是比較區間端點與二次函數的對稱軸，但是不要漏掉對一次函數即a=0時的考慮．