Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，側棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD=90°，AD=3BC，O是AD上一點．
（Ⅰ）若AD=3OD，求證：CD∥平面PBO；
（Ⅱ）求證：平面PAB⊥平面PCD．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）由AD=3BC，AD=3OD，推斷出OD=BC，又OD∥BC，可知四邊形BCDO為平行四邊形，推斷出CD∥BO，根據線面平行的判定定理證明出CD∥平面PBO．
（Ⅱ）由側面PAD⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，AB⊥AD，推斷出AB⊥平面PAD，根據線面垂直的性質知AB⊥PD，進而根據線面垂直的判定定理可知PD⊥平面PAB，進而根據面面垂直的判定定理推斷出平面PAB⊥平面PCD．

解答： 證明：（Ⅰ）∵AD=3BC，AD=3OD，
∴OD=BC，
∵OD∥BC，
∴四邊形BCDO為平行四邊形，
∴CD∥BO，又BO?平面PBO，CD?平面PBO，
∴CD∥平面PBO．
（Ⅱ）∵側面PAD⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，AB⊥AD，
∴AB⊥平面PAD，
∵PD?平面PAD，
∴AB⊥PD，
又PA⊥PD，且PA?平面PAB，AB?平面PAB，AB∩PA=A，
∴PD⊥平面PAB，
∵PD?平面PCD，
∴平面PAB⊥平面PCD．

點評：本題主要考查了線面垂直，面面垂直的判定定理及性質．證明面面垂直的關鍵是找到平面中與另一平面垂直的直線．