Question

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形， M為PD的中點，PA⊥平面ABCD，PA=AD= 4, AB = 2.

（1）求證：AM⊥平面MCD；

（2）求直線PC與平面MAC所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）根據PA⊥平面ABCD可得PA⊥CD，又CD⊥AD ，所以CD⊥平面PAD，得CD⊥AM，又AM⊥PD，即可證明AM⊥平面MCD（2）建立空間坐標系，利用向量法求解即可.

因為PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，所以PA⊥CD，

又CD⊥AD，PA∩AD=A,

所以CD⊥平面PAD，

又AM平面PAD，所以CD⊥AM,

又∵PA=AD=4,且M為PD中點，

所以AM⊥PD，

又∵CD∩PD=D,

所以AM⊥平面MCD

（2）因為PA⊥平面ABCD，AB⊥AD,

所以可建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A（0,0,0），P(0,0,4)，C（2,4,0），M（0,2,2）

設平面MAC的一個法向量為=，

由⊥, ⊥，可得

令，則=（2，-1，1）

設直線PC與平面MAC所成的角為，

則，

所以直線PC與平面MAC所成角的正弦值為.