Question

【題目】如圖，在直三棱柱中， ， ，點為的中點，點為上一動點．

（1）是否存在一點，使得線段平面？若存在，指出點的位置，若不存在，請說明理由．

（2）若點為的中點且，求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：

（1）存在點，且為的中點．連接， ，由三角形中位線的性質可得，結合線面平行的判定定理可得平面．

（2）由題意結合勾股定理可求得．以點為坐標原點， 為軸， 為軸， 為軸建立空間直角坐標系，可得平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，據此計算可得二面角的正弦值為．

試題解析：

（1）存在點，且為的中點．證明如下：

如圖，連接， ，點， 分別為， 的中點，

所以為的一條中位線， ，

又平面， 平面，所以平面．

（2）設，則， ，

，

由，得，解得．

由題意以點為坐標原點， 為軸， 為軸， 為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，可得， ， ， ，

故， ， ， ．

設為平面的一個法向量，則

得

令，得平面的一個法向量，

同理可得平面的一個法向量為，

故二面角的余弦值為 ．

故二面角的正弦值為．