Question

【題目】已知函數f（x）=xcos+a，a∈R.

（I）求曲線y=f（x）在點x=處的切線的斜率；

（II）判斷方程f '（x）=0（f '（x）為f（x）的導數）在區間（0，1）內的根的個數，說明理由；

（III）若函數F（x）=xsinx+cosx+ax在區間（0，1）內有且只有一個極值點，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（I）. （II）1個；（III）-cos1a<0.

【解析】試題分析：（1）取出函數的導函數，可得在點處的導數值，即可得到切線的斜率；

（2）設，求其導數，可得當時， ，則函數為減函數，結合，可得有且只有一個，使成立，即方程在區間內有且僅有一個實數解；

（3）把函數在區間內有且只有一個極值點，轉化為在區間內有且只有一個零點，且在兩側異號，然后結合（2）中的單調性，列出不等式組，即可求解實數的取值范圍.

試題解析：

（I）f '（x）=cosx-xsinx·k=f '（）=.

（II）設g（x）=f '（x），g' （x）=-sinx-（sin x+xcosx）=-2sinx-xcosx.

當x∈（0，1）時，g '（x）<0，則函數g（x）為減函數.

又因為g（0）=1>0，g（1）=cos1-sin1<0，

所以有且只有一個x0∈（0，1），使g（x0）=0成立.

所以函數g（x）在區間（0，1）內有且只有一個零點，即方程f '（x）=0在區間（0，1）內有且只有一個實數根.

（III）若函數F（x）=xsinx+cosx+ax在區間（0，1）內有且只有一個極值點，由于F '（x）=f（x），即f（x）=xcosx+a在區間（0，1）內有且只有一個零點x1，且f（x）在x1兩側異號.

因為當x∈（0，1）時，函數g（x）為減函數，所以在（0，x0）上，g（x）>g（x0）=0，即f '（x）>0成立，函數f（x）為增函數；

在（x0，1）上，g（x）<g（x0）=0，即f '（x）<0成立，函數f（x）為減函數.

則函數f（x）在x=x0處取得極大值f（x0）.

當f（x0）=0時，雖然函數f（x）在區間（0，1）內有且只有一個零點x0，但f（x）在x0兩側同號，不滿足F（x）在區間（0，1）內有且只有一個極值點的要求.

由于f（1）=a+cos1，f（0）=a，顯然f（1）>f（0）.

若函數f（x）在區間（0，1）內有且只有一個零點x1，且f（x）在x1兩側異號，

則只需滿足：

.即，解得-cos1a<0.