Question

【題目】已知橢圓的離心率為，長軸長為．

（1）求橢圓的方程；

（2）點是以長軸為直徑的圓上一點，圓在點處的切線交直線于點，求證：過點且垂直于直線的直線過橢圓的右焦點．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】試題分析：由題意得解得，由此解得，即可得到橢圓的方程；

（2）由題意知，圓的方程為．設(shè)， ， ．由，

因為，所以．

當(dāng)時， ，直線的方程為，直線過橢圓的右焦點．

當(dāng)時，直線的方程為，整理得，直線過橢圓的右焦點．

試題解析：

（1）由題意得解得．

所以．

所以橢圓的方程為．

（2）由題意知，圓的方程為．

設(shè)， ， ．

由，

得，

即，

即．

因為，所以．

當(dāng)時， ，直線的方程為，直線過橢圓的右焦點．

當(dāng)時，直線的方程為，

即，即，直線過橢圓的右焦點．

綜上所述，直線過橢圓的右焦點．