Question

已知二次函數y=g（x）的導函數的圖象與直線y=2x平行，且y=g（x）在x=-1處取得最小值m-1（m≠0）．設函數f（x）=

g(x)

x

（1）若曲線y=f（x）上的點P到點Q（0，2）的距離的最小值為

6

，求m的值
（2）k（k∈R）如何取值時，函數y=f（x）-kx存在零點，并求出零點．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）先根據二次函數的頂點式設出函數g（x）的解析式，然后對其進行求導，根據g（x）的導函數的圖象與直線y=2x平行求出a的值，進而可確定函數g（x）、f（x）的解析式，然后設出點P的坐標，根據兩點間的距離公式表示出|PQ|，再由基本不等式表示其最小值即可．
（2）先根據（1）的內容得到函數y=f（x）-kx的解析式，即（1-k）x²+2x+m=0，然后先對二次項的系數等于0進行討論，再當二次項的系數不等于0時，即為二次方程時根據方程的判別式進行討論即可得到答案．

解答： 解：（1）依題可設g（x）=a（x+1）²+m-1，（a≠0），
則g′（x）=2a（x+1=2ax+2a，
又g′（x）的圖象與直線y=2x平行，
∴2a=2，a=1，
∴g（x）=（x+1）²+m-1=x²+2x+m，f（x）=

g(x)

x

=x+

m

x

+2，
設P（x₀，y₀），
則|PQ|²=

x

2 0

+（y₀+2）²=

x

2 0

+（x₀+

m

x0

）²=2

x

2 0

+

m2

x 2 0

+2m≥2

2m2

+2m=2

2

|m|+2m，
當且僅當2

x

2 0

=

m2

x 2 0

時，|PQ|²取得最小值，即|PQ|取得最小值

6

，
當m＞0時，

(2 2 +2)m

=

6

，解得m=3（

2

-1）；
當m＜0時，

-(2 2 +2)m

=

6

，解得m=-3（

2

-1）；
（2）由y=f（x）-kx=（1-k）x+

m

x

+2=0（x≠0），
得（1-k）x²+2x+m=0，（*）
當k=1時，方程（*）有一解x=-

m

2

，函數y=f（x）-kx有一零點x=-

m

2

；
當k≠1時，方程（*）有二解，∴△=4-4m（1-k）＞0，
若m＞0，k＞1-

1

m

，
函數y=f（x）-kx有兩個零點x=

-2± 4-4m(1-k)

2(1-k)

，即x=

1± 1-m(1-k)

k-1

；
若m＜0，k＜1-

1

m

，
函數y=f（x）-kx有兩個零點x=

-2± 4-4m(1-k)

2(1-k)

，即x=

1± 1-m(1-k)

k-1

；
當k≠1時，方程（*）有一解，
∴△4-4m（1-k）=0，k=1-

1

m

，
函數y=f（x）-kx有一零點x=

1

k-1

=-m；
綜上，當k=1時，函數y=f（x）-kx有一零點x=-

m

2

；
當k＞1-

1

m

（m＞0），或k＜1-

1

m

（m＜0）時，函數y=f（x）-kx有兩個零點x=

1± 1-m(1-k)

k-1

；
當k=1-

1

m

時，函數y=f（x）-kx有一零點x=

1

k-1

=-m．

點評：本題主要考查二次函數的頂點式、導數的幾何意義、函數零點與方程根的關系．主要考查基礎知識的綜合運用和學生的計算能力．