Question

已知集合A={x||x-a|＜ax，a＞0}，若f（x）=sinπx-cosπx在A上是增函數，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：通過解絕對值不等式求出集合A，利用差角公式化簡f（x），利用整體角處理的方法求出f（x）的遞增區間，據題意得到只有(

a

1+a

，

a

1-a

)⊆[-

1

4

，

3

4

]，列出不等式組求出a的范圍．

解答：解：由|x-a|＜ax得-ax＜x-a＜ax，所以

(1+a)x＞a (1-a)x＜a

．
當0＜a＜1時，A=(

a

1+a

，

a

1-a

)；
當a≥1時，A=(

a

1+a

，+∞)，
又f(x)=sinπx-cosπx=

2

sin(πx-

π

4

)的單調遞增區間為[2k-

1

4

，2k+

3

4

]，(k∈Z)，
顯然，當a≥1時，f（x）在A上不可能是增函數，
因此，當0＜a＜1，要使f（x）在A=(

a

1+a

，

a

1-a

)上是增函數，只有(

a

1+a

，

a

1-a

)⊆[-

1

4

，

3

4

]，
所以

0＜a＜1 a 1-a ≤ 3 4

，解得0＜a≤

3

7

，
故a的范圍為0＜a≤

3

7

．

點評：解決三角函數的性質問題，應該先化簡三角函數為一個角一個函數形式，然后利用整體角處理的方法來解決．