Question

已知集合A={x|x²+3x-18＞0}，B={x|x²-（k+1）x-2k²+2k≤0}，若A∩B≠∅，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：解一元二次不等式求出集合A，分2k≥1-k 和2k＜1-k兩種情況，依據A∩B≠∅，分別求出實數k的取值范圍，再取并集即得所求．

解答：解：∵集合A={x|x²+3x-18＞0}={x|（x-3）（x+6）＞0}={x|x＜-6，或 x＞3}，
B={x|x²-（k+1）x-2k²+2k≤0}={x|（x-2k）（x+k-1）≤0}，A∩B≠∅，
∴B≠∅，∴△=（-k-1）²-4（-2k²+2k）≥0，化簡得 （3k-1）²≥0，∴k∈R．
當 2k≥1-k 時，即 k≥

1

3

時，有1-k＜-6 或 2k＞3，解得 k＞7．
當 2k＜1-k 時，即 k＜

1

3

時，2k＜-6 或1-k＞3，解得 k＜-3．
綜上可得k＜-3 或k＞7，
故實數k的取值范圍為（-∞，-3）∪（7，+∞）．

點評：本題主要考查集合關系中參數的取值范圍問題，一元二次不等式的解法，體現了分類討論的數學思想，屬于基礎題．