Question

對于定義在區間D上的函數f（x），若存在閉區間[a，b]⊆D和常數c，使得對任意x₁∈[a，b]，都有f（x₁）=c，且對任意x₂∈D，當x₂∉[a，b]時，f（x₂）＞c恒成立，則稱函數f（x）為區間D上的“平底型”函數．
（1）判斷函數f₁（x）=|x-1|+|x-2|和f₂（x）=x+|x-2|是否為R上的“平底型”函數？并說明理由；
（2）若函數g(x)=x+

x2+2x+n

是區間[-2，+∞）上的“平底型”函數，求n的值．
（3）設f（x）是（1）中的“平底型”函數，k為非零常數，若不等式|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x）對一切t∈R恒成立，求實數x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對于函數f₁（x）=|x-1|+|x-2|，當x∈[1，2]時，f₁（x）=1，當x∉[1，2]時，f₁（x）＞|（x-1）-（x-2）|=1恒成立，f₁（x）可以判斷了；同理可判斷f₂（x）不是“平底型”函數；
（2）首先由于恒有g（x）=c，所以根號里的式子必須要能開方開出來，即為完全平方，可求得n=1；
（3）由于f（x）是“平底型”函數，不等式|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x）對一切t∈R恒成立，只需（|t-k|+|t+k|）_min≥|k|•f（x）即可，而（|t-k|+|t+k|）_min=2|k|，問題解決．

解答：解：（1）對于函數f₁（x）=|x-1|+|x-2|，當x∈[1，2]時，f₁（x）=1．
    當x＜1或x＞2時，f₁（x）＞|（x-1）-（x-2）|=1恒成立，
    故f₁（x）是“平底型”函數．  （2分）
    對于函數f₂（x）=x+|x-2|，
    當x∈（-∞，2]時，f₂（x）=2；
    當x∈（2，+∞）時，f₂（x）=2x-2＞2．
    所以不存在閉區間[a，b]，使當x∉[a，b]時，f（x）＞2恒成立．
    故f₂（x）不是“平底型”函數．           （4分）
   （2）因為函數g(x)=x+

x2+2x+n

是區間[-2，+∞）上的“平底型”函數，
       則存在區間[a，b]⊆[-2，+∞）和常數c，
      使得g(x)=x+

x2+2x+n

=c恒成立．
      所以x²+2x+n=（x-c）²恒成立，
∴c=-1，n=1，g（x）=x+|x+1|．
　　　當x∈[-2，-1]時，g（x）=-1，當x∈（-1，+∞）時，g（x）=2x+1＞-1恒成立．
　　　此時，g（x）是區間[-2，+∞）上的“平底型”函數，n=1為所求．
　（3）若|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x）對一切t∈R恒成立，
　　　則（|t-k|+|t+k|）_min≥|k|•f（x）．
　　　因為（|t-k|+|t+k|）_min=2|k|，
　　　所以2|k|≥|k|•f（x）．又k≠0，則f（x）≤2．
　　　則|x-1|+|x-2|≤2，解得

1

2

≤x≤

5

2

．
　　故實數x的范圍是[

1

2

，

5

2

]．

點評：本題考查函數恒成立的問題，解決本題的靈魂在于“轉化”，將含有絕對值的問題轉化為不含絕對值的問題，使問題在實施“化難為易”、“化生為熟”中得以解決．