Question

（2013•成都二模）對于定義在區間D上的函數f（x），若滿足對?x₁，x₂∈D，且x₁＜x₂時都有 f（x₁）≥f（x₂），則稱函數f（x）為區間D上的“非增函數”．若f（x）為區間[0，1]上的“非增函數”且f（0）=l，f（x）+f（l-x）=l，又當x∈[0，

1

4

]時，f（x）≤-2x+1恒成立．有下列命題：
①?x∈[0，1]，f（x）≥0；
②當x₁，x₂∈[0，1]且x₁≠x₂，時，f（x₁）≠f（x）
③?x∈[

1

4

，

3

4

]時，都有f(x)=

1

2

④函數f（x）的圖象關于點(

1

2

，

1

2

)對稱
其中你認為正確的所有命題的序號為

①③④

．

Answer 1

分析：對于①，在等式f（x）+f（l-x）=l中取x=0，得f（1）=0，然后直接利用“非增函數”的定義進行判斷；
對于③，由x∈[0，

1

4

]時，f（x）≤-2x+1恒成立得到f（

1

4

）≤

1

2

，在等式f（x）+f（l-x）=l中，取x=

1

2

得到
f（

1

2

）=

1

2

，而

1

4

＜

1

2

，從而說明f(

1

4

)≥

1

2

．利用兩邊夾的思想得到f（

1

4

）=

1

2

．同理得到f(

3

4

)=

1

2

．結合新定義即可得到結論；
對于②，由③的證明能說明其不正確；
把給出的等式f（x）+f（l-x）=l變形即可得到命題④正確．

解答：解：對于①，因為f（0）=1，且f（x）+f（l-x）=l，取x=0，得f（1）=0，對?x∈[0，1]，根據“非增函數”的定義知f（x）≥0．所以①正確；
對于③，因為當x∈[0，

1

4

]時，f（x）≤-2x+1恒成立，f（

1

4

）≤

1

2

，
又f（x）+f（l-x）=l，所以f（

1

2

）=

1

2

，而

1

4

＜

1

2

，所以f(

1

4

)≥

1

2

．所以f（

1

4

）=

1

2

．
同理有f(

3

4

)=

1

2

．當x∈[

1

4

，

3

4

]，由“非增函數”的定義可知，f(

3

4

)≤f(x)≤f(

1

4

)，所以f(x)=

1

2

．
所以③正確；
對于②，由③可知當x₁，x₂∈[0，1]且x₁≠x₂時，f（x₁）與f（x₂）可能相等．所以②不正確；
對于④，由f（x）+f（l-x）=l，得f(

1

2

+x)+f(

1

2

-x)=1．
所以函數f（x）的圖象關于點(

1

2

，

1

2

)對稱．
所以正確命題的序號是①③④．
故答案為①③④．

點評：本題考查了命題的真假判斷與運用，考查了抽象函數的性質，解答的關鍵是正確理解新定義，考查了學生的抽象思維能力，是中檔題．