Question

（2012•綿陽三模）對于定義在區間D上的函數f（X），若存在閉區間[a，b]?D和常數c，使得對任意x₁∈[a，b]，都有f（x₁）=c，且對任意x₂∈D，當x₂∉[a，b]時，f（x₂）＜c恒成立，則稱函數f（x）為區間D上的“平頂型”函數．給出下列說法：
①“平頂型”函數在定義域內有最大值；
②函數f（x）=x-|x-2|為R上的“平頂型”函數；
③函數f（x）=sinx-|sinx|為R上的“平頂型”函數；
④當t≤

3

4

時，函數，f(x)=

2，(x≤1) log 1 2 (x-t)，(x＞1)

是區間[0，+∞）上的“平頂型”函數．
其中正確的是

①②④

．（填上你認為正確結論的序號）

Answer 1

分析：根據題意，“平頂型”函數在定義域內某個子集區間內函數值為常數c，且這個常數是函數的最大值，但是定義并沒有指出函數最小值的情況．由此定義再結合絕對值的性質和正弦函數的圖象與性質，對于四個選項逐個加以判斷，即得正確答案．

解答：解：對于①，根據題意，“平頂型”函數在定義域內某個子集區間內函數值為常數c，且這個常數是函數的最大值，故①正確．
對于②，函數f（x）=x-|x-2|=

2x-2 ，  x＜2 2 ， x≥2

，當且僅當x∈[2，+∞）時，函數的最大值為2，符合“平頂型”函數的定義，故②正確．
對于③，函數f（x）=sinx-|sinx|=

2sinx ， x∈[2kπ-π ，2kπ] 0 ， x∈[2kπ ，2kπ+π]

，但是不存在區間[a，b]，對任意x₁∈[a，b]，都有f（x₁）=2，
所以f（x）不是“平頂型”函數，故③不正確．
對于④當t≤

3

4

時，函數，f(x)=

2，(x≤1) log 1 2 (x-t)，(x＞1)

，當且僅當x∈（-∞，1]時，函數的最大值為2，符合“平頂型”函數的定義，故④正確．
故答案為 ①②④．

點評：本題以命題真假的判斷為載體，著重考查了函數的最值及其幾何意義、帶絕對值的函數和正弦函數的定義域值域等知識點，屬于中檔題．