Question

對于定義在區間D上的函數f（x），若存在閉區間[a，b]⊆D和常數c，使得對任意x₁∈[a，b]，都有f（x₁）=c，且對任意x₂∈D，當x₂∉[a，b]時，f（x₂）＞c恒成立，則稱函數f（x）為區間D上的“平底型”函數．
（Ⅰ）判斷函數f₁（x）=|x-1|+|x-2|和f₂（x）=x+|x-2|是否為R上的“平底型”函數？并說明理由；
（Ⅱ）設f（x）是（Ⅰ）中的“平底型”函數，k為非零常數，若不等式|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x）對一切t∈R恒成立，求實數x的取值范圍；
（Ⅲ）若函數g(x)=mx+

x2+2x+n

是區間[-2，+∞）上的“平底型”函數，求m和n的值．

Answer 1

分析：（1）對于函數f₁（x）=|x-1|+|x-2|，欲判斷其是否是“平底型”函數，只須f₁（x）＞=1是否恒成立，利用去絕對值符號后即可證得；同理，對于函數f₂（x）=x+|x-2|，也是如此驗證．
（Ⅱ）若|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x）對一切t∈R恒成立，則（|t-k|+|t+k|）_min≥|k|•f（x）．故只須2|k|≥|k|•f（x）也即f（x）≤2最后即可解出實數x的范圍．（Ⅲ）因為函數g(x)=mx+

x2+2x+n

是區間[-2，+∞）上的“平底型”函數，則存在區間[a，b]⊆[-2，+∞）和常數c，使得mx+

x2+2x+n

=c恒成立．
所以x²+2x+n=（mx-c）²恒成立，得到關于m，n，c的方程，解出它們的值，最后通過驗證g（x）是區間[-2，+∞）上的“平底型”函數即可解決問題．

解答：解：（1）對于函數f₁（x）=|x-1|+|x-2|，當x∈[1，2]時，f₁（x）=1．
當x＜1或x＞2時，f₁（x）＞|（x-1）-（x-2）|=1恒成立，故f₁（x）是“平底型”函數．（2分）
對于函數f₂（x）=x+|x-2|，當x∈（-∞，2]時，f₂（x）=2；當x∈（2，+∞）時，f₂（x）=2x-2＞2，所以不存在閉區間[a，b]，使當x∉[a，b]時，f（x）＞2恒成立．
故f₂（x）不是“平底型”函數．（4分）
（Ⅱ）若|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x）對一切t∈R恒成立，則（|t-k|+|t+k|）_min≥|k|•f（x）．
因為（|t-k|+|t+k|）_min=2|k|，所以2|k|≥|k|•f（x）．又k≠0，則f（x）≤2．（6分）
因為f（x）=|x-1|+|x-2|，則|x-1|+|x-2|≤2，解得

1

2

≤x≤

5

2

．
故實數x的范圍是[

1

2

，

5

2

]．（8分）
（Ⅲ）因為函數g(x)=mx+

x2+2x+n

是區間[-2，+∞）上的“平底型”函數，則
存在區間[a，b]⊆[-2，+∞）和常數c，使得mx+

x2+2x+n

=c恒成立．
所以x²+2x+n=（mx-c）²恒成立，即

m2=1 -2mc=2 c2=n

．解得

m=1 c=-1 n=1

或

m=-1 c=1 n=1

．（10分）
當

m=1 c=-1 n=1

時，g（x）=x+|x+1|．
當x∈[-2，-1]時，g（x）=-1，當x∈（-1，+∞）時，g（x）=2x+1＞-1恒成立．
此時，g（x）是區間[-2，+∞）上的“平底型”函數．（11分）
當

m=-1 c=1 n=1

時，g（x）=-x+|x+1|．
當x∈[-2，-1]時，g（x）=-2x-1≥1，當x∈（-1，+∞）時，g（x）=1．
此時，g（x）不是區間[-2，+∞）上的“平底型”函數．（12分）
綜上分析，m=1，n=1為所求．（13分）

點評：本小題主要考查函數的概念及其構成要素、不等式的解法、函數恒成立問題等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于中檔題．