Question

（2013•鹽城一模）對于定義在區間D上的函數f（x），若任給x₀∈D，均有f（x₀）∈D，則稱函數f（x）在區間D上封閉．
（1）試判斷f（x）=x-1在區間[-2.1]上是否封閉，并說明理由；
（1）若函數g（x）=

3x+a

x+1

在區間[3，10]上封閉，求實數a的取值范圍；
（1）若函數h（x）=x³-3x在區間[a，b[（a，b∈Z）上封閉，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）由函數f（x）=x-1在區間[-2，1]上是增函數求出在[-2，1]上的值域，不滿足在區間上封閉的概念；
（2）把給出的函數g（x）=

3x+a

x+1

變形為3+

a-3

x+1

，分a=3，a＞3，a＜3三種情況進行討論，利用函數在區間[3，10]上封閉列式求出a的取值范圍；
（3）求出函數h（x）=x³-3x的導函數，得到三個不同的單調區間，然后對a，b的取值分類進行求解．

解答：解：（1）f（x）=x-1在區間[-2，1]上單調遞增，所以f（x）的值域為[-3，0]
而[-3，0]?[-2，1]，所以f（x）在區間[-2，1]上不是封閉的；
（2）因為g（x）=

3x+a

x+1

=3+

a-3

x+1

，
①當a=3時，函數g（x）的值域為{3}⊆[3，10]，適合題意．
②當a＞3時，函數g（x）=3+

a-3

x+1

在區間[3，10]上單調遞減，故它的值域為[

30+a

11

，

9+a

4

]，
由[

30+a

11

，

9+a

4

]⊆[3，10]，得

30+a 11 ≥3 9+a 4 ≤10

，解得3≤a≤31，故3＜a≤31．
③當a＜3時，在區間[3，10]上有g(x)=

3x+a

x+1

=3+

a-3

x+1

＜3，顯然不合題意．
綜上所述，實數a的取值范圍是3≤a≤31；
（3）因為h（x）=x³-3x，所以h^′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
當x∈（-∞，-1）時，h^′（x）＞0，當x∈（-1，1）時，h^′（x）0．
所以h（x）在（-∞，-1）上單調遞增，在（-1，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增．
①當a＜b≤-1時，h（x）在區間[a，b]上遞增，所以

h(a)≥a h(b)≤b

，
即

a3-3a≥a b3-3b≤b

，解得-2≤a≤0或a≥2，b≤-2或0≤b≤2，又a＜b≤-1，此時無解．
②當a≤-1且-1＜b≤1時，因h（x）_max=h（-1）=2＞b，矛盾，不合題意
③當a≤-1且b＞1時，因為h（-1）=2，h（1）=-2都在函數的值域內，故a≤-2，b≥2，
又

a≤h(a) b≥h(b)

，得

a≤a3-3a b≥b3-3b

，解得-2≤a≤0或a≥2，b≤-2或0≤b≤2，從而a=-2，b=2．
④當-1≤a＜b≤1時，h（x）在區間[a，b]上遞減，

h(b)≥a h(a)≤b

，即

b3-3b≥a a3-3a≤b

（*）
而a，b∈Z，經檢驗，滿足-1≤a＜b≤1的整數組a，b均不合（*）式．
⑤當-1＜a＜1且b≥1時，因h（x）_min=h（1）=-2＜a，矛盾，不合題意．
⑥當b＞a≥1時，h（x）在區間[a，b]上遞增，所以

h(a)≥a h(b)≤b

，
即

a3-3a≥a b3-3b≤b

，解得-2≤a≤0或a≥2，b≤-2或0≤b≤2，又b＞a≥1，此時無解．
綜上所述，所求整數a，b的值為a=-2，b=2．

點評：本題是新定義題，考查了利用導數求閉區間上的最值，考查了分類討論得數學思想方法，解答此題的關鍵是正確分類，因該題需要較細致的分類，對學生來說是有一定難度的題目．