Question

已知

a

=（1+cosx，1），

b

=（1+sinx，m）．
（1）若m=1，且

a

∥

b

時，求x的值；
（2）記f（x）=

a

•

b

，若f（x）＞0對任意的x∈R恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,平面向量共線（平行）的坐標表示

專題：平面向量及應用

分析：（1）利用向量共線定理和正切函數的單調性即可得出；
（2）利用數量積可得：f（x）=

a

•

b

=sinx+cosx+sinxcosx+m+1．由f（x）＞0對任意的x∈R恒成立，即sinx+cosx+sinxcosx+m+1＞0對任意的x∈R恒成立?[-（sinx+cosx+sinx+cosx+1）]_max，x∈R．令sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)=t，可得t∈[-

2

，

2

]，t²=（sinx+cosx）²=1+2sinxcosx，通過換元即可得出．

解答： 解：（1）m=1時，

b

=（1+sinx，1），
∵

a

∥

b

時，
∴1+sinx-（1+cosx）=0，化為tanx=1，解得x=kπ+

π

4

（k∈Z），
其解集為{x|x=kπ+

π

4

(k∈Z)}．
（2）f（x）=

a

•

b

=（1+sinx）（1+cosx）+m=sinx+cosx+sinxcosx+m+1，
∵f（x）＞0對任意的x∈R恒成立，∴sinx+cosx+sinxcosx+m+1＞0對任意的x∈R恒成立，
∴m＞-（sinx+cosx+sinxcosx+1）對任意的x∈R恒成立，
令g（x）=sinx+cosx+sinxcosx+1，x∈R．
令sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)=t，
則t∈[-

2

，

2

]，t²=（sinx+cosx）²=1+2sinxcosx，解得sinxcosx=

t2-1

2

．
∴h（t）=g（x）=

t2-1

2

+t+1=

1

2

(t+1)2，t∈[-

2

，

2

]，
∴當t=-1時，h（t）取得最小值0，
∴m＞0．
∴m的取值范圍是（0，+∞）．

點評：本題考查了向量共線定理、正切函數的單調性、數量積的坐標運算、三角函數的基本關系式、兩角和差的正弦公式、換元法等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，考查了轉化能力，屬于難題．