Question

【題目】下圖是一塊平行四邊形園地，經測量，.擬過線段上一點 設計一條直路（點在四邊形的邊上，不計直路的寬度），將該園地分為面積之比為的左，右兩部分分別種植不同花卉.設（單位：m）.

（1）當點與點重合時，試確定點的位置；

（2）求關于的函數關系式；

（3）試確定點的位置，使直路的長度最短.

Answer 1

【答案】(1)是的中點;(2);(3) 當,時,最短,其長度為.

【解析】

(1)由可知,從而證明是的中點.

(2)求出平行四邊形的面積為,進而可求,從而用 可將表示出來,利用余弦定理即可得到關于的函數關系式.

(3)當 ,由二次函數的性質可求最值;當時,由基本不等式可求最值.

解:(1)當點與點重合時,由題設知,.

于是,其中為平行四邊形邊上的高.

得,即點是的中點.

(2)因為點在線段上,所以.當時,由(1)知

點在線段上.因為

所以.

由得,.所以中,由余弦定理得

.

當時,點在線段上,由

得.當時,

當時,

化簡均為.

綜上,.

(3)當時,,

于是當時,,此時.

當時,

當且僅當，即時，取等號

綜上： 當距點，距點時，最短，其長度為.