Question

【題目】如圖，游客從某旅游景區的景點A處下山至C處有兩種路徑．一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.現有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50 m/min.在甲出發2 min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1 min后，再從B勻速步行到C.假設纜車勻速直線運行的速度為130 m/min，山路AC長為1260 m，經測量，cos A＝，cos C＝

（1）求索道AB的長；

（2）問乙出發多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？

Answer 1

【答案】（1）索道AB的長為1 040 m；（2）t＝ (min)時，甲、乙兩游客距離最短.

【解析】試題分析：（1）在△ABC中，由cosA和cosC可得sinA根和sinC，從而得sinB，由正弦定理，可得AB；

（2）假設乙出發t分鐘后，甲、乙兩游客距離為d，此時，甲行走了(100＋50t)m，乙距離A處130tm，由余弦定理得d2＝200(37t2－70t＋50)，結合二次函數即可得最值.

試題解析：

（1）在△ABC中，因為cos A＝，cos C＝，

所以sin A＝，sin C＝.

從而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)

＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.

由正弦定理＝，得AB＝×sin C＝×＝1 040(m)．

所以索道AB的長為1 040 m.

（2）假設乙出發t分鐘后，甲、乙兩游客距離為d，此時，甲行走了(100＋50t)m，乙距離A處130t m

所以由余弦定理得

d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t2－70t＋50)，

因0≤t≤，即0≤t≤8，

故當t＝ (min)時，甲、乙兩游客距離最短.