Question

【題目】已知函數，，其中，設．

（1）如果為奇函數，求實數、滿足的條件；

（2）在（1）的條件下，若函數在區間上為增函數，求的取值范圍；

（3）若對任意的恒有成立．證明：當時，成立．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）見解析

【解析】

(1)根據函數為奇函數，利用奇函數對應的表達式，得到關于的關系式，分析等式恒成立的條件即可得到滿足的條件；

(2)利用函數單調性的定義，求解出關于的不等式，即可求解出的取值范圍；

(3)由得到間的不等關系，再根據作差法以及不等式的性質證明在時成立.

（1），設的定義域為，

∵為奇函數，∴對于任意，成立．

即：化簡得：，

因對于任意都成立，

∴，

即，.

（2）由（1）知，，

∵在上為增函數，

∴任取時，恒成立．

即任取時，成立，

也就是成立．

∴，即的取值范圍是．

（3）因為任意的恒有成立，

所以對任意的，，

即恒成立．

所以判別式，

從而，∴，且，

因此且．

故當時，有．

即當時，成立．