Question

【題目】已知函數

（1）當時，求證在上是單調遞減函數；

（2）若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍；

（3）討論函數的零點個數.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析. （2）.（3）見解析

【解析】

（1）先求出，再利用函數的單調性的定義證明；（2）等價于恒成立，再換元利用二次函數的最值解答得解；（3）得，再令，結合函數的圖象分析分類討論得解.

（1）當時，

因為，所以，

設，

所以

因為，

所以，

所以.

所以在上是單調遞減函數；

（2）因為對任意的，不等式恒成立，

所以恒成立，

所以恒成立，

設，所以在上恒成立，

當t＞0時，的最大值為，此時.

所以.

（3）令得

所以，令

作圖得函數的圖象為：

當時，函數有一個零點；

當時，函數有兩個零點；

當時，函數有三個零點.