Question

已知兩個非零向量

a

和

b

所成的角為θ（0≤θ≤π），規定向量

c

=

a

×

b

，滿足：
（1）模：|

c

|=|

a

||

b

|sinθ；
（2）方向：向量

c

的方向垂直于向量

a

和

b

（向量

a

和

b

構成的平面），且符合“右手定則”：用右手的四指表示向量

a

的方向，然后手指朝著手心的方向擺動角度θ到向量

b

的方向，大拇指所指的方向就是向量

c

的方向．
這樣的運算就叫向量的叉乘，又叫外積、向量積．
對于向量的叉乘運算，下列說法正確的是

 

．
①

a

×

a

=

0

；      
②

a

×

b

=

0

等價于

a

和

b

共線；
③叉乘運算滿足交換律，即

a

×

b

=

b

×

a

；
④叉乘運算滿足數乘結合律，即λ（

a

×

b

）=（λ

a

）×

b

=

a

×（λ

b

）．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：①|

a

×

a

|=|

a

|2sin0=0，可得

a

×

a

=

0

；
②

a

×

b

=

0

?|

a

| |

b

sinθ|=|

0

|=0?θ=0或π?

a

和

b

共線；
③雖然滿足|

a

×

b

|=|

b

×

a

|，但是

a

×

b

與

b

×

a

的方向相反；
④|λ（

a

×

b

）|=|（λ

a

）×

b

|=|

a

×（λ

b

）|=|λ| |

a

| |

b

|sinθ，再利用“右手定則”即可得出．

解答： 解：①|

a

×

a

|=|

a

|2sin0=0，∴

a

×

a

=

0

，正確；
②

a

×

b

=

0

?|

a

| |

b

sinθ|=|

0

|=0?θ=0或π?

a

和

b

共線，正確；
③雖然滿足|

a

×

b

|=|

b

×

a

|，但是

a

×

b

與

b

×

a

的方向相反，叉乘運算不滿足交換律，因此不正確；
④|λ（

a

×

b

）|=|（λ

a

）×

b

|=|

a

×（λ

b

）|=|λ| |

a

| |

b

|sinθ，再利用“右手定則”可知：叉乘運算滿足數乘結合律．
綜上可得：只有①②④正確．
故答案為：①②④．

點評：本題考查了新定義向量的叉乘運算、向量共線、向量的模，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．