Question

【題目】已知函數 ．

(1)討論的單調性；

(2)若對任意恒成立，求實數的取值范圍（為自然常數）；

(3)求證：．

Answer 1

【答案】（1）當時，的單調增區間為，單調減區間為；當時，的單調增區間為，單調減區間為；

（2）

（3）證明見解析

【解析】

(1)求導得到，討論和兩種情況得到答案.

(2) 令，討論的單調性，計算的最值得到答案.

(3) 令，在上單調遞增，得到對一切成立，故代入計算得到到答案.

（1）函數的定義域為，

當時，的單調增區間為，單調減區間為；

當時，的單調增區間為，單調減區間為；

（2）令,

則，令，則,

（a）若,即 則在是增函數,

, 無解.

（b）若即，則在是減函數,

所以,

（c）若,即，在是減函數, 在是增函數,

最大值可得,可得

所以 ,

綜上所述 ,

（3）令，此時，所以，

由（1）知在上單調遞增，∴當時，即，∴對一切成立，

∵，則有，

所以