Question

已知f（x）=lnx，g（x）=

1

2

ax²-

1

2

ax，a∈R．
（Ⅰ）當a=2時，求F（x）=f（x）-g（x）的單調區間；
（Ⅱ）當x≥1時，xf（x）≤g（x）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）當a=2時，F（x）=lnx-x²+x，x＞0，利用導數求出單調區間，
（Ⅱ）分離參數數，x≥1時，xf（x）≤g（x）恒成立，轉化為a≥

2lnx

x-1

，設h（x）=

2lnx

x-1

，再利用數形結合的思想，求出最大值為h（1）=2，故求出a的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx，g（x）=

1

2

ax²-

1

2

ax，a∈R．
當a=2時，
∴F（x）=f（x）-g（x）=lnx-x²+x，x＞0，
∴F′（x）=

1

x

-2x+1=-

(2x+1)(x-1)

x

令F′（x）=0，解得x=1，
當0＜x＜1時，F′（x）＜0，函數F（x）為減函數，
當x＞1時，F′（x）＞0，函數F（x）為增函數，
故函數F（x）的單調增區間為[1，+∞），單調減區間為（0，1）
（Ⅱ）∵當x≥1時，xf（x）≤g（x）恒成立，
∴xf（x）-g（x）≤0恒成立，
即xlnx-（

1

2

ax²-

1

2

ax）≤0恒成立，
∴a≥

2lnx

x-1

，
設h（x）=

2lnx

x-1

，
∴h′（x）=

2(x-1-xlnx)

x(x-1)2

再設m（x）=x-1-xlnx，
∴m′（x）=1-（lnx+1）=-lnx＜0，
∴m（x）=x-1-xlnx在[1，+∞）為減函數，
∴m（x）=x-1-xlnx有最大值，最大值為m（1）=1-1-ln1=0，
∴h′（x）=

2(x-1-xlnx)

x(x-1)2

≤0，
∴h（x）=

2lnx

x-1

在[1，+∞）為減函數，
∴h（x）有最大值，最大值為h（1）=2，
∴a≥2，
故實數a的取值范圍是[2，+∞）

點評：本題主要考查了導數與函數的單調性，參數的取值范圍的問題，分離參數法，是參數的常用方法，屬于中檔題．