Question

設(shè){a_n}為公比q＞1的等比數(shù)列，若a₂₀₀₆和a₂₀₀₇是方程4x²-8x+3=0的兩根，則a₂₀₀₈+a₂₀₀₉=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：先利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系得到以a₂₀₀₆+a₂₀₀₇=2，a₂₀₀₆•a₂₀₀₇=

3

4

；再把所得結(jié)論用a₂₀₀₆和q表示出來(lái)，求出q；最后把所求問(wèn)題也用a₂₀₀₆和q表示出來(lái)即可的出結(jié)論．

解答： 解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q．
∵a₂₀₀₆和a₂₀₀₇是方程4x²-8x+3=0的兩個(gè)根
∴a₂₀₀₆+a₂₀₀₇=2，a₂₀₀₆•a₂₀₀₇=

3

4

．
∴a₂₀₀₆（1+q）=2    ①
a₂₀₀₆•a₂₀₀₆•q=

3

4

  ②
∴①²÷②：

(1+q)2

q

=

16

3

，
∵q＞1，∴解得q=3．
∴a₂₀₀₈+a₂₀₀₉=a₂₀₀₆•q²+a₂₀₀₆•q³
=a₂₀₀₆•（1+q）•q²=2×3²=18．
故答案為：18．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系以及等比數(shù)列的性質(zhì)．在解決本題的過(guò)程中用到了整體代入的思想，當(dāng)然本題也可以求出首項(xiàng)和公比再代入計(jì)算．