Question

（1）求函數f（x）=

1

x+1

+

4-x2

的定義域；
（2）求函數y=2x-

x-1

的值域；
（3）已知函數y=

ax+b

x2+1

的值域為[-2，2]，求a，b的值．

Answer 1

考點：函數的值域,函數的定義域及其求法

專題：函數的性質及應用

分析：（1）該函數的定義域就是使函數f（x）有意義的x的集合，所以x+1≠0，且4-x²≥0，解出x來即可．
（2）將原函數解析式中的2x移到等號的左邊，再兩邊平方并整理得：4x²-（4y+1）x+y²+1=0，可以把這個等式看成關于x的方程，方程有解，判別式△≥0，解出y即是值域．
（3）將原函數整理成關于x的方程，方程有解，判別式△≥0，這樣得到關于y的不等式，這個不等式的解是原函數的值域，從而求出a，b．

解答： 解：（1）使原函數有意義，則：

x+1≠0 4-x2≥0

，解得-2≤x≤2，且x≠-1；
∴原函數的定義域為[-2，-1）∪（-1，2]．
（2）將原函數變成y-2x=-

x-1

，然后兩邊平方得：4x²-（4y+1）x+y²+1=0；
則：（4y+1）²-16（y²+1）≥0，解得y≥

15

8

∴原函數的值域是[

15

8

，+∞）．
（3）原函數變成y（x²+1）=ax+b，整理成：yx²-ax+y-b=0；
∴a²-4y（y-b）≥0；
∴4y²-4by-a²≤0      ①；
∵原函數的值域是[-2，2]，∴不等式①的解是[-2，2]；
∴-2，2是關于y的方程4y²-4by-a²=0的兩個根；
∴

16+8b-a2=0 16-8b-a2=0

，解得a=±4，b=0．

點評：將原函數整理成關于x的方程，方程有解，判別式△≥0，這個不等式的解便是原函數的值域，這是一種求值域的辦法，應該掌握．