Question

已知橢圓E的左右焦點分別為F₁（-1，0），F₂（1，0），離心率等于

1

2

．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）斜率為-

1

2

的直線l與橢圓E有且只有一個公共點P，過點P作直線l的垂線m，直線m與x軸相交于點Q，求證：∠F₁PQ=∠F₂PQ．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），且

c=1 c a = 1 2

，由此能求出橢圓的標準方程．
（Ⅱ）設直線l的方程為y=-

1

2

x+n，將其代入橢圓E的方程，得：x²-nx+n²-3=0，由△=0，得n=±2，由此能證明∠F₁PQ=∠F₂PQ．

解答： （Ⅰ）解：∵橢圓E的左右焦點分別為F₁（-1，0），F₂（1，0），離心率等于

1

2

，
∴設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），
且

c=1 c a = 1 2

，解得a=2，c=1，∴b²=4-1=3，
∴橢圓的標準方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）證明：設直線l的方程為y=-

1

2

x+n，
將其代入橢圓E的方程，得：x²-nx+n²-3=0，
∵直線l與橢圓E有且只有一個公共點P，
∴△=n²-4（n²-3）=12-3n²=0，
解得n²=4，即n=±2，
n=2時，由x²-2x+1=0，得x=1，∴P（1，

3

2

），
此時直線m方程為y-

3

2

=2（x-1），令y=0，得Q（

1

4

，0），
∴

PF1

=（-2，-

3

2

），

PQ

=(-

1

4

，-

3

2

)，
cos∠F₁PQ=

3 2 + 9 4

3 2 • 3 5 4

=

2 5

5

，
同理，得cos∠F2PQ=

2 5

5

，
∴∠F₁PQ=∠F₂PQ，
同理，當n=-2時也成立，
∴∠F₁PQ=∠F₂PQ．

點評：本題考查橢圓的標準方程、直線與橢圓等橢圓知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數與方程思想、化歸與轉化思想、數形結合思想等．