Question

【題目】己知函數， ．

(I)求函數的單調區間；

(II)設，已知函數在上是增函數．

(1)研究函數上零點的個數；

(ii)求實數c的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析; （Ⅱ）(1)1個;(2) .

【解析】試題分析(1) 對函數求導,①當時， 在上是減函數，在上是增函數；②當時， 在上是增函數，在上是減函數；(2) （1）當時，函數 ， , 在上單調遞減．又， ，由函數的零點存在性定理及其單調性知， 在上零點的個數為1．（2）由（1）知，當時， ＞0，當時， ＜0．∴當時， =求導，得在， 上恒成立． ①當時， min= 極小值= ，故“在上恒成立”，只需 ．②當時，當時， 在上恒成立，綜合①②知， 的取值范圍是．

試題解析:（Ⅰ）∵，

∴，

①當時，

在時， ，

在時， ，

故在上是減函數，在上是增函數；

②當時，

在時， ，

在時， ，

故在上是增函數，在上是減函數；

（Ⅱ）（1）當時，函數 ，

求導，得，

當時， 恒成立，

當時， ，

∴ ，

∴在上恒成立，故在上單調遞減．

又， ，

曲線在[1，2]上連續不間斷，

∴由函數的零點存在性定理及其單調性知，唯一的∈（1，2），使，

所以，函數在上零點的個數為1．

（2）由（1）知，當時， ＞0，當時， ＜0．

∴當時， =

求導，得

由函數在上是增函數，且曲線在上連續不斷知：

在， 上恒成立．

①當時， 上恒成立，

即在上恒成立，

記， ，則， ，

當 變化時， ， 變化情況列表如下：

		3
		0
		極小值

∴min= 極小值= ，

故“在上恒成立”，只需 ，即．

②當時， ，

當時， 在上恒成立，

綜合①②知，當時，函數在上是增函數．

故實數的取值范圍是．