Question

（2012•虹口區二模）在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=6，用過A₁，B，C₁三點的平面截去長方體的一個角后，留下如圖的幾何體，且這幾何體的體積為120．
（1）求棱AA₁的長；
（2）求點D₁到平面A₁BC₁的距離．

Answer 1

分析：（1）通過長方體的體積減去三棱錐的體積直接求棱AA₁的長；
（2）建立空間直角坐標系，求出A₁，B，C₁，D₁．設平面A₁BC₁的法向量為

n

=(x，y，z)，通過

6y-4z=0 -6x+6y=0

得

n

=(2，2，3)利用d=

| BD1 • n |

| n |

，求出點D₁到平面A₁BC₁的距離．

解答：解：（1）設AA₁=h，由幾何體的體積關系可得：
V=6²•h-

1

3

×

1

2

×62×h=120
∴AA₁=h=4…（4分）
（2）如圖建立空間直角坐標系，
則A₁（6，0，4），B（6，6，0），C₁（0，6，4），D₁（0，0，6）．
設平面A₁BC₁的法向量為

n

=(x，y，z)，
∴

A1B

=(0，6，-4)，

A1C1

=(-6，6，0)，由

6y-4z=0 -6x+6y=0

得

n

=(2，2，3)…（8分）
又

BD1

=(-6，-6，4)，
∴d=

| BD1 • n |

| n |

=

12 17

17

…（12分）

點評：本題考查幾何體的體積的求法，空間直角坐標系，距離的求法，考查計算能力．