Question

【題目】如圖，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，，.過頂點，的平面與棱，分別交于，兩點.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求證：四邊形是平行四邊形；

（Ⅲ）若，試判斷二面角的大小能否為？說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）不能為.

【解析】

（1）由平面平面，可得平面，從而證明；

（2）由平面與平面沒有交點，可得與不相交，又與共面，所以，同理可證，得證；（3）作交于點，延長交于點，連接，根據三垂線定理，確定二面角的平面角，若，，由大角對大邊知，兩者矛盾，故二面角的大小不能為.

（1）由平面平面，平面平面，

且，所以平面，

又平面，所以；

（2）依題意都在平面上，

因此平面，平面，

又平面，平面，

平面與平面平行，即兩個平面沒有交點，

則與不相交，又與共面，

所以，同理可證，

所以四邊形是平行四邊形；

（3）不能.如圖，作交于點，延長交于點，連接，

由，，，

所以平面，則平面，又，

根據三垂線定理，得到，所以是二面角的平面角，

若，則是等腰直角三角形，，

又，

所以中，由大角對大邊知，

所以，這與上面相矛盾，

所以二面角的大小不能為.