Question

【題目】已知橢圓：的離心率為．

（1）求橢圓的方程．

（2）設(shè)直線過(guò)點(diǎn)且與橢圓交于，兩點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為．證明直線過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）由離心率及可求得，得橢圓方程；

（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，，．直線：，與橢圓方程聯(lián)立消元后應(yīng)用韋達(dá)定理得，求出直線方程，再求出與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入可得其為定值，得定點(diǎn)，直線的斜率不存在時(shí)，可直接求出直線方程，也過(guò)該定點(diǎn)，從而證得結(jié)論成立．

（1）解：由題意可得，解得，

所以橢圓的方程為．

（2）證明：①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，

不妨設(shè)，，，

此時(shí)，直線的方程為，所以直線過(guò)點(diǎn)．

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，，．直線：．

由得，

所以，．（*）

直線：，令，得，

所以．（**）

將（*）代入（**）可得．

所以直線過(guò)點(diǎn)．

綜上所述，直線過(guò)定點(diǎn)．