【題目】某學校為了調查學生數學素養的情況，從初中部、高中部各隨機抽取100名學生進行測試.初中部的100名學生的成績（單位：分）的頻率分布直方圖如圖所示.
高中部的100名學生的成績（單位：分）的頻數分布表如下：
測試分數 |
|
|
|
|
|
頻數 | 5 | 20 | 35 | 25 | 15 |
把成績分為四個等級：60分以下為
級，60分（含60）到80分為
級，80分（含80）到90分為
級，90分（含90）以上為
級.
（1）根據已知條件完成下面的
列聯表，據此資料你是否有99%的把握認為學生數學素養成績“級”與“所在級部”有關？
不是 |
| 合計 | |
初中部 | |||
高中部 | |||
合計 |
注：
，其中
.
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
（2）若這個學校共有9000名高中生，用頻率估計概率，用樣本估計總體，試估計這個學校的高中生的數學素養成績為級的人數，并估計數學素養成績的平均分（用組中值代表本組分數）；
（3）把初中部的級同學編號為
，
，
，
，
，高中部的級同學編號為
，
，
，
，
，從初中部級、高中部級中各選一名同學，求這兩名同學的編號奇偶性相同的概率.
【答案】（1）填表見解析；沒有；（2）
級的人數約為
；數學素養成績的平均分估計值為
；（3）
.
【解析】
（1）根據題意完善
列聯表，計算
,根據臨界值得出結論.
（2）由頻數分布表可知所抽取的100人中，級有15人，所以級的人數約為
，再由公式計算數學素養成績的平均分.
（3）先列舉出基本事件總數，再得出兩名同學的編號奇偶性相同的基本事件數，得出概率.
解：（1）由題意可得列聯表如下：
不是 |
| 合計 | |
初中部 | 95 | 5 | 100 |
高中部 | 85 | 15 | 100 |
合計 | 180 | 20 | 200 |
利用表中數據得到
的觀測值
.
所以沒有99%的把握認為學生數學素養成績“級”與“所在級部”有關.
（2）由頻數分布表可知所抽取的100人中，級有15人，
所以9000名高中生中，級的人數約為
.
高中部的100名學生的成績（單位：分）的頻率分布表如下：
測試分數 |
|
|
|
|
|
頻數 | 5 | 20 | 35 | 25 | 15 |
頻率 | 0.05 | 0.2 | 0.35 | 0.25 | 0.15 |
數學素養成績的平均分估計值為
.
（3）設基本事件空間為
，
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
共有25個基本事件.
其中兩名同學的編號奇偶性相同的情形為，，，，，
，，，，，，，
共有
（種），則所求概率為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】
指數是用體重公斤數除以身高米數的平方得出的數字，是國際上常用的衡量人體胖瘦程度以及是否健康的一個標準．對于高中男體育特長生而言，當數值大于或等于20.5時，我們說體重較重，當數值小于20.5時，我們說體重較輕，身高大于或等于
我們說身高較高，身高小于170cm我們說身高較矮．
（1）已知某高中共有32名男體育特長生，其身高與指數的數據如散點圖，請根據所得信息，完成下述列聯表，并判斷是否有
的把握認為男生的身高對指數有影響．
身高較矮 | 身高較高 | 合計 | |
體重較輕 | |||
體重較重 | |||
合計 |
（2）①從上述32名男體育特長生中隨機選取8名，其身高和體重的數據如表所示：
編號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
身高 | 166 | 167 | 160 | 173 | 178 | 169 | 158 | 173 |
體重 | 57 | 58 | 53 | 61 | 66 | 57 | 50 | 66 |
根據最小二乘法的思想與公式求得線性回歸方程為
．利用已經求得的線性回歸方程，請完善下列殘差表，并求
（解釋變量（身高）對于預報變量（體重）變化的貢獻值）（保留兩位有效數字）；
編號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
體重（kg） | 57 | 58 | 53 | 61 | 66 | 57 | 50 | 66 |
殘差 |
|
|
|
|
|
|
|
②通過殘差分析，對于殘差的最大（絕對值）的那組數據，需要確認在樣本點的采集中是否有人為的錯誤，已知通過重新采集發現，該組數據的體重應該為
．小明重新根據最小二乘法的思想與公式，已算出
，請在小明所算的基礎上求出男體育特長生的身高與體重的線性回歸方程．
參考數據：
，
，
，
，
參考公式：
，
，
，
，
．
| 0.10 | 0.05 | 0.01 | 0.005 |
| 2.706 | 3.811 | 6.635 | 7.879 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數），以原點
為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線
的極坐標方程為
.
（1）當
時，判斷直線與曲線的位置關系；
（2）若直線與曲線相交所得的弦長為
，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】盲盒里面通常裝的是動漫、影視作品的周邊，或者設計師單獨設計出來的玩偶.由于盒子上沒有標注，購買者只有打開才會知道自己買到了什么，因此這種驚喜吸引了眾多年輕人，形成了“盲盒經濟”.某款盲盒內可能裝有某一套玩偶的
、
、
三種樣式，且每個盲盒只裝一個.
（1）若每個盲盒裝有、、三種樣式玩偶的概率相同.某同學已經有了樣式的玩偶，若他再購買兩個這款盲盒，恰好能收集齊這三種樣式的概率是多少？
（2）某銷售網點為調查該款盲盒的受歡迎程度，隨機發放了200份問卷，并全部收回.經統計，有
的人購買了該款盲盒，在這些購買者當中，女生占
；而在未購買者當中，男生女生各占
.請根據以上信息填寫下表，并分析是否有
的把握認為購買該款盲盒與性別有關？
女生 | 男生 | 總計 | |
購買 | |||
未購買 | |||
總計 |
參考公式：
，其中
.
參考數據：
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（3）該銷售網點已經售賣該款盲盒6周，并記錄了銷售情況，如下表：
周數 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
盒數 | 16 | ______ | 23 | 25 | 26 | 30 |
由于電腦故障，第二周數據現已丟失，該銷售網點負責人決定用第4、5、6周的數據求線性回歸方程，再用第1、3周數據進行檢驗.
①請用4、5、6周的數據求出
關于
的線性回歸方程
；
（注：
，
）
②若由線性回歸方程得到的估計數據與所選出的檢驗數據的誤差均不超過2盒，則認為得到的線性回歸方程是可靠的，試問①中所得的線性回歸方程是否可靠？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱柱
中，底面
是正方形，平面
平面，
，
.過頂點
，
的平面與棱
，
分別交于
，
兩點.
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）求證：四邊形
是平行四邊形；
（Ⅲ）若
，試判斷二面角
的大小能否為
？說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知平面內兩個定點
和點
，
是動點，且直線
,
的斜率乘積為常數
，設點的軌跡為
.
① 存在常數，使上所有點到兩點
距離之和為定值；
② 存在常數，使上所有點到兩點
距離之和為定值；
③ 不存在常數，使上所有點到兩點距離差的絕對值為定值；
④ 不存在常數，使上所有點到兩點距離差的絕對值為定值.
其中正確的命題是_______________.（填出所有正確命題的序號）
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