Question

稱數(shù)列{a_n+1-a_n}為數(shù)列{a_n}的一階差數(shù)列．若數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a₄=24．且{a_n+1-a_n}的一階差數(shù)列為常數(shù)列2，2，2，…．
（1）求a₂，a₃；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（3）設sn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

，求證：對一切n∈N₊，sn＜

3

4

．

Answer 1

分析：（1）確定數(shù)列{a_n+1-a_n}是公差為2的等差數(shù)列，即可求得結論；
（2）數(shù)列{a_n+1-a_n}是首項為5，公差為2的等差數(shù)列，由此可求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（3）利用裂項法求和，即可證得結論．

解答：（1）解：由于數(shù)列{a_n+1-a_n}的一階差數(shù)列為常數(shù)列2，2，2，…，知數(shù)列{a_n+1-a_n}是公差為2的等差數(shù)列．
由（a₄-a₃）-（a₃-a₂）=2，（a₃-a₂）-（a₂-a₁）=2得a₂=8，a₃=15．（4分）
（2）解：數(shù)列{a_n+1-a_n}是首項為5，公差為2的等差數(shù)列，
n≥2時sn-1=an-a1=5(n-1)+(n-1)(n-2)=n2+2n-3，
∴an=sn-sn-1=n2+2n，（8分）
而a₁=3也恰適合以上通項公式，故an=n2+2n(n∈N+)（9分）
（3）證明：對一切n∈N₊，sn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=

1

1×3

+

1

2×4

+…+

1

n(n+2)

=

1

2

×[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

n

-

1

n+2

)]=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)＜

3

4

（13分）

點評：本題考查新定義，考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項與求和，考查學生的計算能力，屬于中檔題．