Question

（2013•海淀區二模）若數列{a_n}滿足：存在正整數T，對于任意正整數n都有a_n+T=a_n成立，則稱數列{a_n}為周期數列，周期為T．已知數列{a_n}滿足a₁=m（m＞0），a_n+1=

an-1，an＞1， 1 an ，0＜an≤1

則下列結論中錯誤的是（　　）

• A．若m=

  4

  5

  ，則a₅=3
• B．若a₃=2，則m可以取3個不同的值
• C．若m=

  2

  ，則數列{a_n}是周期為3的數列
• D．?m∈Q且m≥2，數列{a_n}是周期數列

Answer 1

分析：由給出的遞推式，把選項A、B、C中的m及a₃分別代入遞推式驗證，可以判斷選項A、B、C正確，由排除法可以斷定不正確的選項是D．

解答：解：由a_n+1=

an-1，an＞1 1 an ，0＜an≤1

，且a1=m=

4

5

＜1，
所以，a2=

1

a1

=

1

4 5

=

5

4

＞1，a3=a2-1=

5

4

-1=

1

4

＜1，
a4=

1

a3

=

1

1 4

=4＞1，a₅=a₄-1=4-1=3．
故選項A正確；
由a₃=2，若a₃=a₂-1=2，則a₂=3，若a₁-1=3，則a₁=4．
若

1

a1

=3，則a1=

1

3

．
由a₃=2，若a3=

1

a2

=2，則a2=

1

2

，若a1-1=

1

2

，則a1=

3

2

．
若

1

a1

=

1

2

，則a₁=2，不合題意．
所以，a₃=2時，m即a₁的不同取值由3個．
故選項B正確；
若a1=m=

2

＞1，則a2=a1-1=

2

-1＜1，
a3=

1

a2

=

1

2 -1

=

2

+1＞1，
所以a4=a3-1=

2

+1-1=

2

．
故在m=

2

時，數列{a_n}是周期為3的周期數列，選項C正確；
選項A、B、C均正確，不正確的選項即可排除A、B、C，由選擇題的特點可知，不正確的選項是D．
故選D．

點評：本題考查了簡單的合情推理，考查了分類討論的數學思想，訓練了學生的計算能力，是中檔題．