Question

數列A_n的前m項為A₁，A₂，…，A_m，若對任意正整數n，有A_（n+m）=A_n•q（其中q為常數，q不等于0，1），則稱數列A_n是以m為周期，以q為周期公比的似周期性等比數列．已知似周期性等比數列B_n的前7項為1，1，1，1，1，1，2，周期為7，周期公比為3，則數列B_n前7k+1項的和

 

．（k為正整數）．

Answer 1

分析：根據已知條件可以理解并把握似周期性等比數列的定義，弄清周期和周期公比的含義，將所求的數列的和問題轉化為學過的等比數列求和是解決本題的關鍵，注意找準他們的聯系．

解答：解：把B_n的每七項求和的數列設為C_n，也就是說 C₁=B₁+B₂+…+B₇，C_k=B _7k-6+B_7k-5+…+B_7k，因此，求B_n前7k項之和就是求C_n前k項之和．
由于B_n是周期為7的似周期性等比數列，所以

Bn+7

Bn

=3，那么不難知道C_n+1與C_n作為和，每一部分都對應比為3，所以

Cn+1

Cn

=3．
由等比數列求和公式，可得為c₁+c₂+c₃+…+c_k⁼4×3^k-4．這就是數列B_n前7k項之和，最后就是加上B_7k+1這一項，由于B_7k+1=B₁×3^k=3^k．
因此，數列B_n前7k+1項和就是4×3^k-4+3^k₌5•3^k-4．
故答案為：5•3^k-4．

點評：本題考查新定義型問題的解決方法，考查學生對新定義的問題的理解和把握程度，弄清新定義數列與學過數列的關系，考查學生的轉化與化歸能力、等比數列求和的知識，考查學生分析問題解決問題的能力和意識．