Question

如果存在常數a使得數列{a_n}滿足：若x是數列{a_n}中的一項，則a-x也是數列{a_n}中的一項，稱數列{a_n}為“兌換數列”，常數a是它的“兌換系數”．
（1）若數列：1，2，4，m（m＞4）是“兌換系數”為a的“兌換數列”，求m和a的值；
（2）若有窮遞增數列{b_n}是“兌換系數”為a的“兌換數列”，求證：數列{b_n}的前n項和Sn=

n

2

•a；
（3）已知有窮等差數列{c_n}的項數是n₀（n₀≥3），所有項之和是B，試判斷數列{c_n}是否是“兌換數列”？如果是的，給予證明，并用n₀和B表示它的“兌換系數”；如果不是，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據數列：1，2，4，m（m＞4）是“兌換系數”為a的“兌換數列”，可得a-m，a-4，a-2，a-1也是該數列的項，且a-m＜a-4＜a-2＜a-1，由此可求m和a的值；
（2）不妨設有窮數列{b_n}的項數為n，根據有窮數列{b_n}是“兌換系數”為a的“兌換數列”，可得b_i+b_n+1-i=a（1≤i≤n），從而可得數列{b_n}的前n項和；
（3）證明對數列{c_n}中的任意一項c_i（1≤i≤n₀）a-ci=c1+(n0-i)d=cn0+1-i∈{cn}即可．

解答：（1）解：因為數列：1，2，4，m（m＞4）是“兌換系數”為a的“兌換數列”
所以a-m，a-4，a-2，a-1也是該數列的項，且a-m＜a-4＜a-2＜a-1----------（1分）
故a-m=1，a-4=2-------------------（3分）
即a=6，m=5．-------------------（4分）
（2）證明：不妨設有窮數列{b_n}的項數為n
因為有窮數列{b_n}是“兌換系數”為a的“兌換數列”，所以a-b_n，a-b_n-1，…，a-b₁也是該數列的項，-----（5分）
又因為數列{b_n}是遞增數列b₁＜b₂＜…＜b_n，且a-b_n＜a-b_n-1＜…＜a-b₁-------------------（6分）
則b_i+b_n+1-i=a（1≤i≤n）-------------------（8分）
故Sn=b1+b2+…+bn=

n

2

a-------------------（10分）
（3）解：數列{c_n}是“兌換數列”．證明如下：
設數列{c_n}的公差為d，因為數列{c_n}是項數為n₀項的有窮等差數列
若c1≤c2≤c3≤…≤cn0，則a-c1≥a-c2≥a-c3≥…≥a-cn0
即對數列{c_n}中的任意一項c_i（1≤i≤n₀）a-ci=c1+(n0-i)d=cn0+1-i∈{cn}-------（12分）
同理可得：若c1≥c2≥c3≥…≥cn0，a-ci=c1+(n0-i)d=cn0+1-i∈{cn}也成立，
由“兌換數列”的定義可知，數列{c_n}是“兌換數列”；-------------------（14分）
又因為數列{b_n}所有項之和是B，所以B=

(c1+cn0)•n0

2

=

a•n0

2

，即a=

2B

n0

-------------------（18分）

點評：本題考查新定義，考查學生的閱讀能力，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．