Question

【題目】在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為（為參數），以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為．

（1）寫出曲線C1和C2的直角坐標方程；

（2）已知P為曲線C2上的動點，過點P作曲線C1的切線，切點為A，求|PA|的最大值．

Answer 1

【答案】（1）C1的直角坐標方程為；C2的直角坐標方程為；（2）．

【解析】

（1）由（為參數），消去參數，可得曲線C1的直角坐標方程．由，得ρ2+3ρ2sin2θ＝4，結合極坐標與直角坐標的互化公式可得曲線C2的直角坐標方程；

（2）由P為曲線C2上的動點，設P（2cosα，sinα），則P與圓的圓心的距離，利用二次函數求最值，再由勾股定理求|PA|的最大值．

解：（1）由（為參數），消去參數，可得．

∴曲線C1的直角坐標方程為；

由，得ρ2+3ρ2sin2θ＝4，

即x2+y2+3y2＝4，即．

∴曲線C2的直角坐標方程為；

（2）∵P為曲線C2上的動點，又曲線C2的參數方程為

∴設P（2cosα，sinα），

則P與圓C1的圓心的距離

．

要使|PA|的最大值，則d最大，當sinα時，d有最大值為．

∴|PA|的最大值為．