Question

【題目】已知函數.

（1）求的極大值點；

（2）當，時，若過點存在3條直線與曲線相切，求t的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）先求導數，求出導函數的零點，安照、、三種情況討論的極大值點；

（2）設切點，利用該點的導數等于切線斜率、切線過點兩個條件整理得到關于的方程，進一步研究函數的取值情況.

解：（1），

令，得或．

若，則當時，；

當時，，

故在，上單調遞增，在上單調遞減，

此時的極大值點為；

若，則當時，；

當時，，

故在，上單調遞增，在上單調遞減，

此時的極大值點為；

若，在上單調遞增，無極值．

（2）設過點的直線與曲線相切于點，

則，且切線斜率，

所以切線方程為，

因此，整理得，

構造函數，

則“若過點存在3條直線與曲線相切”等價于“有三個不同的零點”，，與的關系如下表：

	+	0		0	+
		極大值		極小值

所以的極大值為，極小值為，

要使有三個解，即且，解得．

因此，當過點存在3條直線與曲線相切時，

t的取值范圍是．