Question

【題目】對于正整數、，定義，其中、為非負整數，，且．求最大的正整數，使得存在正整數，對于任意的正整數，都有．證明你的結論．

Answer 1

【答案】證明見解析

【解析】

將滿足條件“存在正整數，，使得只要正整數，就有”的最大正整數記為．顯然，本題所求的最大正整數即為．

（1）先證．

事實上，，所以．

又當時，，而，所以．

因此，．

（2）設已求出，且為偶數．顯然，易知滿足的必要條件是：存在，使得只要，就有．

令．由可得．

若取，由可知．由此可得，．

于是，．

因此，．

故有．

由于為偶數，從而．

因為，所以，．

因此總有．

另一方面，若取，由于，

對每個，令，

那么，或者，；或者，．

兩種情況下均有．因此，．

此外，因為為偶數，若，由可得；若，

由也可得．因此也是偶數．

這樣，已完成了歸納證明：．

由逐次推出，，，，．

于是，所求的最大正整數．