Question

【題目】給定正整數，已知用克數都是正整數的塊砝碼和一臺天平可以稱出質量為克的所有物品．

（1）求的最小值；

（2）當且僅當取什么值時，上述塊砝碼的組成方式是惟一確定的？并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）設這塊砝碼的質量數分別為，且．因為天平兩端都可以放砝碼，故可稱質量為．若利用這塊砝碼可以稱出質量為的

物品，則上述表示式中含有，由對稱性易知也含有，即

．

所以， ．即．

設，則．

且時，可取．

由數的三進制表示可知，對任意，都有，其中．

則 ．

令，則．

故對一切的整數，都有，其中．

由于，因此，對一切的整數，也有上述表示．

綜上，可知的最小值．

（2）Ⅰ當時，由（1）可知就是一種砝碼的組成方式．下面我們證明也是一種方式．

若，由（1）可知，則；

若，則．

由（1）可知，其中．

易知，．（否則矛盾）則．

所以，當時，塊砝碼的組成方式不惟一．

Ⅱ．下面我們證明：當時，塊砝碼的組成方式是惟一的，即．

若對每個，都有，即

．

注意左邊集合中至多有個元素，故必有 ．

從而，對每個，，都可以惟一地表示為，其中．

因而，，則．

令，則．

由上可知，對每個，都可以惟一地表示為，其中．

特別地，易知．

下面用歸納法證明．

當時，易知中最小的正整數是，故．

假設當時，．

由于就是數的三進制表示，易知它們正好是，故應是除上述表示外中最小的數，因此，．

由歸納法可知，．

綜合Ⅰ，Ⅱ可知，當且僅當時，上述塊砝碼的組成方式是惟一確定的．