Question

【題目】如圖，已知兩個半徑不相等的與相交于M、N兩點，且、分別與內切于S、T兩點。求證：OM⊥MN的充分必要條件是S、N、T三點共線。

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

如圖，設的半徑分別為.由條件知三點共線，三點共線，且OS=OT=r.連結.

充分性.設S、N、T三點共線，則∠S=∠T.又與均為等腰三角形.

故∠S=∠,∠T=∠.

于是，∠S≈∠，∠T=∠.

從而，.

故四邊形為平行四邊形.

因此，，

.

故.

從而，.由此得.

又由于，故.

必要性.若，，有.從而..

設OM=a，由，，知與的周長都等于，記.

由三角形面積的海倫公式，有.

化簡得.

又已知，有.

故，.

所以，為平行四邊形.從而，.

又與均為等腰三角形，，，即，.于是，.

故 ,.

所以,S、N、T三點共線.