Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知雙曲線分別為的左，右頂點.

(1)以為圓心的圓與恰有三個不同的公共點，寫出此圓的方程；

(2)直線過點,與在第一象限有公共點,線段的垂直平分線過點,求直線的方程；

(3)上是否存在異于點,使成立，若存在，求出所有的坐標，若不存在說明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2) ；（3）不存在，理由見解析

【解析】

（1）求雙曲線的左右頂點，可得以A為圓心的圓經(jīng)過B,求得半徑，可得所求圓的方程（2）設直線l的方程為，（），聯(lián)立雙曲線方程，運用韋達定理，可得P的坐標，由中點坐標公式可得AP的中點坐標，再由兩直線垂直的條件，解方程可得，進而得到所求直線方程（3）假設l上存在異于A,B點M,N，使成立，設，運用向量的坐標表示和點滿足雙曲線方程，解方程可得M的坐標，即可判斷是否存在.

(1)因為雙曲線為

所以左右頂點，

由題意可得以A為圓心的圓經(jīng)過B,

則圓的半徑，圓的方程為.

(2)直線過點，且直線的斜率存在，

設直線的方程為，

聯(lián)立雙曲線方程消去y，可得，

可得，可得，

可得的中點坐標為，

由題意可得，即為，解得(負的舍去)，

則直線的方程為；

(3)設,

因為,

所以

把代入雙曲線方程得:

,與點重合,故不存在.