Question

【題目】如圖，空間直角坐標系中，四棱錐的底面是邊長為的正方形，且底面在平面內，點在軸正半軸上，平面，側棱與底面所成角為45°；

（1）若是頂點在原點，且過、兩點的拋物線上的動點，試給出與滿足的關系式；

（2）若是棱上的一個定點，它到平面的距離為（），寫出、兩點之間的距離，并求的最小值；

（3）是否存在一個實數（），使得當取得最小值時，異面直線與互相垂直？請說明理由；

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）根據題意，求出點的坐標，代入拋物線方程，即可得出與的關系式；

（2）設點和的坐標，根據兩點間的距離公式，利用二次函數的基本性質，即可得出函數的最小值；

（3）由（2）可知，當時，當取得最小值時，求得，由異面直線與垂直時，，代入即可求出的值.

（1）由四棱錐是底面邊長為的正方形，則，

可設與所滿足的關系式為，將點橫坐標和豎坐標代入該方程得，

解得，因此，與所滿足的關系式為；

（2）設點，，

則.

令，設，對稱軸為直線.

①當時，即當時，函數在上單調遞增，則，此時；

②當時，即當時，此時函數在取得最小值，即，

此時.

因此，；

（3）當時，此時點與原點重合，則直線與為相交直線，不符；

當時，則當取最小值時，，

當異面直線與垂直時，，即，化簡得.

，解得.