Question

【題目】已知橢圓的兩個焦點分別為，長軸長為．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程及離心率；

（Ⅱ）過點的直線與橢圓交于，兩點，若點滿足，求證：由點 構成的曲線關于直線對稱．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），離心率；（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）由已知，得a，c＝1，所以，由 ，所以b，即可求出橢圓方程及離心率；（Ⅱ）設A（x1，y1），B（x2，y2），，分兩種情況，借助韋達定理和向量的運算，求出點M構成的曲線L的方程為2x2+3y2﹣2y＝0，即可證明。

（Ⅰ）由已知，得，所以，

又，所以

所以橢圓的標準方程為，離心率.

（Ⅱ）設，， ，

①直線 與軸垂直時，點的坐標分別為，．

因為，，，

所以．

所以，即點與原點重合;

②當直線與軸不垂直時，設直線的方程為，

由

得，．

所以.

則，

因為，，，

所以．

所以，．，，

消去得．

綜上，點構成的曲線的方程為

對于曲線的任意一點，它關于直線的對稱點為．

把的坐標代入曲線的方程的左端：．

所以點也在曲線上．

所以由點構成的曲線關于直線對稱.