Question

14、已知a，b∈R，且a²+ab+b²=3，設a²-ab+b²的最大值和最小值分別為M，m，則M+m=

10

．

Answer 1

分析：令t=a²-ab+b²，由a²+ab+b²=3可得a²+b²=3-ab，結合基本不等式的性質，進而可得ab-3≤2ab≤3-ab，解可得ab的范圍，又由a²+b²=3-ab，則t可變形為3-2ab，由ab的范圍，可得M、m的值，代入可得答案．

解答：解：令t=a²-ab+b²，
由a²+ab+b²=3可得a²+b²=3-ab，
由基本不等式的性質，-（a²+b²）≤2ab≤a²+b²，
進而可得ab-3≤2ab≤3-ab，
解可得，-3≤ab≤1，
t=a²-ab+b²=3-ab-ab=3-2ab，
故1≤t≤9，
則M=9，m=1，
M+m=10，
故答案為10．

點評：本題考查基本不等式的性質與運用，正確運用公式要求“一正、二定、三相等”，解題時要注意把握和或積為定值這一條件．