Question

（2010•南寧二模）已知f（x）=sinx，g（x）=cosx，則有[f（x）]²+[g（x）]²=1，f（2x）=2f（x）g（x），類比上列，若設f（x）=

ex- e-x

2

，g（x）=

ex+ e-x

2

，則可得到f（x）與g（x）的一個關系式是

f（2x）=2f（x）g（x）

．（只須寫出一種即可）

Answer 1

分析：寫出“二倍角的正弦公式”的形式，據此二倍角公式寫出類比結論即可．

解答：解：∵“二倍角的正弦公式”的形式是：
sin2x=2sinxcosx，
有類比結論：
設f（x）=

ex- e-x

2

，g（x）=

ex+ e-x

2

，
則可得到f（x）與g（x）的一個關系式是 f（2x）=2f（x）g（x）．
證明如下：
∵f（x）=

ex- e-x

2

，g（x）=

ex+ e-x

2

，
∴f（x）g（x）=

ex- e-x

2

×

ex+ e-x

2

=

1

2

×

e2x-e-2x

2

=

1

2

f（2x）
∴f（2x）=2f（x）g（x）．
故答案為：f（2x）=2f（x）g（x）．

點評：本題考查利用類比推理從形式上寫出類比結論，寫類比結論時：先找類比對象，再找類比元素．