Question

（2010•南寧二模）球面上三點，其中任意兩點的球面距離都等于大圓周長的

1

4

，若經過三點的小圓的面積為2π，則球的體積為（　　）

• A．2

  3

  π
• B．4

  3

  π
• C．

  3

  π
• D．5

  3

  π

Answer 1

分析：設球面上三點分別為A，B，C．因為正三角形ABC的外徑r=

2

，故可以得到高，D是BC的中點．在△OBC中，又可以得到角以及邊與R的關系，在Rt△ABD中，再利用直角三角形的勾股定理，即可解出R，最后利用體積公式求出球的體積即可．

解答：解：設球面上三點分別為A，B，C．
因為正三角形ABC的外接圓的半徑r=

2

，故高AD=

3

2

r=

3

2

2

，D是BC的中點．
在△OBC中，BO=CO=R，∠BOC=

π

2

，所以BC=BO=

2

R，BD=

1

2

BC=

2

2

R．
在Rt△ABD中，AB=BC=

2

R，所以由AB²=BD²+AD²，得2R²=

1

2

R²+9，所以R=

3

．
∴V=

4π

3

(

3

)3=4

3

π
故選B．

點評：本題考查學生的空間想象能力，以及對球的性質認識及利用，球的體積和表面積是常考的題型，是基礎題．