Question

已知拋物線C：y²=4x，直線l與拋物線C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂）兩點（A，B異于點O），設直線OA，l，OB的斜率分別為k₁，k，k₂（其中k＞0），O為坐標原點．
（Ⅰ）若k₁•k₂=-1，求y₁y₂的值；
（Ⅱ）若k₁+k₂=8k，記△OAB的面積為S，以OA，OB為直徑的圓的面積分別為S₁，S₂．是否存在正實數λ，使得S₁+S₂≥λS恒成立？若存在，求出λ的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知得y12=4x1，y22=4x2，從而k1k2=

y1y2

x1x2

=

16

y1y2

=-1，由此能求出y₁y₂=-16．
（Ⅱ）設直線AB：y=kx+b，則與拋物線方程y²=4x聯立，得ky²-4y+4b=0，由此利用韋達定理、根得判別式、弦長公式，結合已知條件能求出＜λ≤

51

12

．

解答： 解：（Ⅰ）因為拋物線C：y²=4x，直線l與拋物線C交于
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂）兩點，
所以y12=4x1，y22=4x2，
所以k1k2=

y1y2

x1x2

=

y1y2

(y1y2)2 16

=

16

y1y2

=-1，
所以y₁y₂=-16．…（5分）
（Ⅱ）設直線AB：y=kx+b，則與拋物線方程y²=4x聯立，
得ky²-4y+4b=0，
由韋達定理得，y1+y2=

4

k

，y1y2=

4b

k

，
△=16-16kb＞0，得kb＜1．…（7分）
又因為8k=k₁+k₂，所以

16

y1+y2

=

4

y1

+

4

y2

，
即（y₁+y₂）²=8y₁y₁，所以kb=

1

2

．…（9分）
S=

1

2

|AB|dO-AB=

2 b

k2

=

2

2k3

，
S1+S1=

x

4

(OA2+OB2)=

x

4

(x12+y12+x22+y22)
=

x

4

(x12+4x1+x22+4x2)
=

x

4

(

27

2k4

+

12

k2

)，…（13分）
所以

S1+S2

S

=

x

2 2

(

17

2k

+24k)≥

102

x，
當且僅當k=

51

12

時等號成立．
所以0＜λ≤

51

12

．…（15分）

點評：本題考查拋物線上兩點縱坐標的乘積的求法，考查滿足條件的實數值是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意弦長公式的合理運用．