Question

【題目】已知橢圓的左右焦點分別為點．為橢圓上的一動點，面積的最大值為．過點的直線被橢圓截得的線段為，當軸時，．

(1)求橢圓的方程；

(2)橢圓上任取兩點A，B，以，為鄰邊作平行四邊形．若，則是否為定值？若是，求出定值；如不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）是定值，10

【解析】

（1）由已知條件可知，，再結合，求橢圓方程；

（2）設，，由平行四邊形法則，所以.

所以，再變形為，再根據已知條件轉化坐標間的關系，求得定值.

（1）由題意：的最大面積，.

又，聯立方程可解得，所以橢圓的方程為：.

（2）設，，由平行四邊形法則，所以.

所以.

又因為，即，即.

又因為點A，B在橢圓上，則，，

可得①， ②，

①×②可得即，

又，所以,即.

又①＋②可得，可得.

所以.