Question

函數f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=1時有極值10，則a的值為（　　）

• A、-3或4
• B、4
• C、-3
• D、3或4

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值

專題：導數的概念及應用

分析：先對函數f（x）進行求導，然后根據f′（1）=0，f（1）=10可求出a，b的值，再根據函數的單調性進行檢驗即可確定最后答案．

解答： 解：求導函數，可得f′（x）=3x²+2ax+b
∵函數f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=1時有極值10
∴f′（1）=2a+b+3=0，f（1）=a²+a+b+1=10
解得a=-3，b=3或a=4，b=-11，
當a=-3時，f′（x）=3x²-6x+3=3（x-1）²≥0，∴x=1不是極值點
當a=4，b=-11時，f′（x）=3x²+8x-11=（x-1）（3x+11），在x=1的左右附近，導數符號改變，滿足題意
∴a=4
故選：B．

點評：本題考查函數的極值與其導函數的關系，函數取到極值時一定有導函數等于0，反之不一定成立．