Question

已知定圓的圓心為，動圓過點，且和圓相切，動圓的圓心的軌跡記為．
(Ⅰ)求曲線的方程；
(Ⅱ)若點為曲線上一點，試探究直線：與曲線是否存在交點? 若存在，求出交點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）直線與曲線總有兩個交點，.

試題分析：（Ⅰ）先找出圓心和半徑，設出動圓的圓心和半徑，因為動圓過點，且和圓相切，所以，所以點的軌跡是以為焦點的橢圓；（Ⅱ）討論的情況，分和兩種，當時，顯然有兩個交點，當時，聯立方程組，消解方程，看解的個數.
試題解析：（Ⅰ）圓的圓心為，半徑.
設動圓的圓心為半徑為，依題意有.
由，可知點在圓內，從而圓內切于圓，故，
即，所以點的軌跡是以為焦點的橢圓.       3分
設橢圓方程為. 由，，可得，.
故曲線的方程為.        6分
（Ⅱ）當時，由可得.此時直線的方程為：，
與曲線有兩個交點.       8分
當時，直線的方程為：，
聯立方程組消去得，   ①
由點為曲線上一點，得，可得.
于是方程①可以化簡為. 解得或.
當代入方程可得；
當代入方程可得.顯然時，.
綜上，直線與曲線總有兩個交點，.        13分